Tema 3¶
Espacios Vectoriales¶
\[\begin{split}\begin{matrix}
\begin{matrix}
\mathbb R^3 & \mathbb C^3 & \mathbb Q^3 \\
\mathbb R^n & \mathbb C^n & \mathbb Q^n \\
\mathcal M_{m \times n}(\mathbb R) & & \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)
\end{matrix} &
\begin{matrix}
+ \text{ operación interna que cumple las siguientes propiedades} \\
\left.
\begin{matrix}
\text{asociativa} \\
\text{elemento neutro} \\
\text{opuesto} \\
\text{conmutativa} \\
\end{matrix}
\right\} \text{ Grupo Abeliano}
\end{matrix}
\end{matrix}\end{split}\]
Definición
Con \(V\) conjunto no vacío y \(\mathbb K\) cuerpo, se dice que \(V\) es un \(\mathbb K\)-espacio vectorial si verifica
\((V, +)\) es un Grupo Abeliano.
La multiplicación por escalares,
\[\begin{split}\mathbb K \times V \rightarrow V \\ (\alpha, v) \leadsto \alpha v\end{split}\]verifica las siguientes propiedades:
\[\begin{split}\forall \; \alpha, \beta \in \mathbb K \\ \forall \; v, w \in V\end{split}\]- \((\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v\)
- \(\alpha(v + w) = \alpha v + \alpha w\)
- \((\alpha \beta) v = \alpha(\beta v)\)
- \(1v = v\)
Note
A los elementos de \(V\) se les llama vectores y a los elementos del cuerpo \(\mathbb K\) se les llama escalares.
Ejemplo
\[U = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \; / \; z = 0 \right\} \subset \mathbb R^3\]
Definición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial, un subconjunto no vacío \(U\) de \(V\) es un subespacio vectorial de \(V\) si
- \(\forall u, u' \in U \quad u + u' \in U\)
- \(\forall u \in U \; \forall \alpha \in \mathbb K \quad \alpha u \in U\)
Ejemplo
\[U' = \left\{ (x, y) \in \mathbb R^2 \; / \; x = y - 1 \right\} \subset \mathbb R^2\]
\(U'\) no es un subespacio vectorial de \(\mathbb R^2\) ya que
\[(0, 1) \in U' \wedge 0 \in \mathbb R \wedge 0(0, 1) \notin U'\]
Propiedades¶
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial, \(0\) el cero escalar y \(0_V\) el cero vectorial se verifica
\(\alpha v = 0_V \Leftrightarrow \alpha = 0 \vee v = 0_V \quad \forall \alpha \in \mathbb K, \forall v \in V\)
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix} "\Leftarrow" & \\ & \text{Con } \alpha = 0, \quad \begin{matrix} 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v \\ 0 = -(0v) + 0v + 0v = 0 + 0v = 0v \end{matrix} \\ "\Rightarrow" & \\ & \left. \begin{matrix} \alpha v = 0_V \\ \alpha \neq 0 \end{matrix} \right\} \Rightarrow v = 0_V \text{ ya que } \left. \begin{matrix} \alpha v = 0_V \\ \alpha \neq 0 \\ \exists \alpha^{-1} \in \mathbb K \end{matrix} \right\} \Rightarrow \alpha^{-1} (\alpha v) = (\alpha^{-1} \alpha) v = 1v = 0_V \Leftrightarrow v = 0_V \end{matrix}\end{split}\]\((-\alpha)v = -(\alpha v) = \alpha (-v) \quad \forall \alpha \in \mathbb K, \forall v \in V\)
\(\alpha v = \beta v \Rightarrow \alpha = \beta \quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb K, v \neq 0_V \in V\)
Combinaciones lineales¶
Definición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial y \(S \neq \emptyset\) subconjunto de \(V\), una combinación lineal de elementos de \(S\) es un vector de la forma \(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_r + v_r\) en donde \(\alpha_1, \cdots, \alpha_r \in \mathbb K\) y \(v_1, \cdots, v_r \in S\).
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
V = \mathbb R^2 \\
S = \left\{ (1, 1), (1, 0), (0, -1) \right\} \\
(3, 7) = 2(1, 1) + (1, 0) - 5(0, -1) = 7(1, 1) - 4(1, 0)
\end{matrix}\end{split}\]
Definición
\[\begin{split}\langle S \rangle := \left\{
\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n
\; \middle/ \; \begin{matrix}
\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in \mathbb K \\
v_1, \cdots, v_n \in S
\end{matrix}
\right\} \subset V\end{split}\]
es el menor subespacio vectorial de \(V\) que contiene al conjunto \(S\). Este espacio vectorial se llama subespacio de \(V\) generado por el conjunto \(S\).
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
\emptyset \neq S = \left\{ (1, 1) \right\} \subset \mathbb R^2 \\
\langle (1, 1) \rangle = \left\{ \alpha (1, 1) \middle/ \alpha \in \mathbb R \right\} =
\left\{ (\alpha, \alpha) \middle/ \alpha \in \mathbb R \right\}
\end{matrix}\end{split}\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
(1) & S \subset \langle S \rangle \\
& u \in S \wedge u = 1u \in \langle S \rangle \\
\\
(2) & \langle S \rangle \text{ subespacio de } V \\
& \emptyset \neq \langle S \rangle \subset V \text{ ya que }
S \neq \emptyset \wedge S \subset \langle S \rangle \\
\\
(3) & \text{Menor subespacio de } V \text{ que contiene a } S \\
& \text{Si } U \text{ es un subespacio de } V \; / \;
S \subset U \Rightarrow^{\color{red} ?}
\langle S \rangle \subset U
\\
\\
& \left.
\begin{matrix}
& \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n \\
& v_i \in S \subset U \Rightarrow v_i \in U \\
\alpha_i \in \mathbb K \quad \forall i = 1, \cdots, n &
\end{matrix}
\right\} \Rightarrow \alpha_i v_i \in U \Rightarrow
\alpha_i v_i + \cdots + \alpha_n v_n \in U
\end{matrix}\end{split}\]
Proposición
Con \(S\) y \(S'\) subconjuntos no vacíos de \(V\)
\[\begin{split}\langle S \rangle = \langle S' \rangle \Leftrightarrow
\left\{
\begin{matrix}
S \subset \langle S' \rangle \\
S' \subset \langle S \rangle
\end{matrix}
\right.\end{split}\]
Ejemplo
\[\langle S \rangle = \langle (1, 1), (0, -1) \rangle =
\langle (1, 0), (0, -1), (3, 4) \rangle = \langle S' \rangle\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
"\Rightarrow" & \\
& S \subset \langle S \rangle = \langle S' \rangle \\
& S' \subset \langle S' \rangle = \langle S \rangle \\
"\Leftarrow" & \\
& \left.
\begin{matrix}
\langle U \rangle \text{ es el menor subespacio vectorial que contiene a } U \\
S \subset \langle S' \rangle \Rightarrow \langle S \rangle \subset \langle S' \rangle \\
S' \subset \langle S \rangle \Rightarrow \langle S' \rangle \subset \langle S \rangle
\end{matrix}
\right\} \Rightarrow \langle S \rangle = \langle S' \rangle
\end{matrix}\end{split}\]
Observación
Con \(\emptyset \neq S = V\) y \(u \in V\)
\[\langle S \rangle = \langle S \cup \left\{ u \right\} \rangle \Leftrightarrow
u \in \langle S \rangle\]
Demostración
\[\begin{split}\langle S \rangle = \langle S \cup \left\{ u \right\} \rangle \Leftrightarrow
\left\{
\begin{matrix}
S \subset \langle S \cup \left\{ u \right\} \rangle \\
S \cup \left\{ u \right\} \subset \langle S \rangle
\end{matrix}
\right\} \Leftrightarrow u \in \langle S \rangle\end{split}\]
Propiedades¶
Con \(v_1, \cdots, v_n \in V\), \(0 \neq \alpha \in \mathbb K\) y \(\beta \in \mathbb K\).
- \[\langle v_1, \cdots, v_i, v_j, \cdots, v_n \rangle = \langle v_1, \cdots, v_j, v_i, \cdots, v_n \rangle\]
Demostración
Trivial, ya que en los conjuntos no hay orden.
- \[\underset{ S }{ \underbrace{ \langle v_1, \cdots, v_n \rangle } } = \underset{ S' }{ \underbrace{ \langle v_1, \cdots, \alpha v_i, \cdots, v_n \rangle } } \quad \alpha \neq 0\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{array}{r} v_i = \alpha^{-1} (\alpha v_i) = 1v_i \Rightarrow S \subset \langle S' \rangle \\ \alpha v_i \Rightarrow S' \subset \langle S \rangle \end{array}\end{split}\] - \[\underset{ S }{ \underbrace{ \langle v_1, \cdots, v_n \rangle } } = \underset{ S' }{ \underbrace{ \langle v_1, \cdots, v_i + \beta v_j, \cdots, v_n \rangle } } \quad i \neq j\]
Demostración
\[\begin{split}v_i = (v_i + \beta v_j) - \beta v_j \in \langle S' \rangle \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} S \subset \langle S' \rangle \\ S' \subset \langle S \rangle \end{matrix} \right\} \Leftarrow v_i + \beta v_j \in \langle S \rangle\end{split}\]
Intersección de subespacios¶
Con \(U, W\) subespacios de \(V\)
\[U \cap W = \left\{ v \in V \middle/ v \in U \wedge v \in W \right\}\]
es un subespacio de \(U\).
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
\left.
\begin{matrix}
U \subset V \\
W \subset V
\end{matrix}
\right\} \Rightarrow U \cap W \subset V \\
\\
\left.
\begin{matrix}
0 \in U \\
0 \in W
\end{matrix}
\right\} \Rightarrow 0 \in U \cap W \Rightarrow U \cap W \neq \emptyset \\
\\
v_1, v_2 \in U \cap W \Leftrightarrow^{\color{blue} 1}
\left.
\begin{matrix}
v_1, v_2 \in U \\
v_1, v_2 \in W
\end{matrix}
\right\} \Rightarrow^{\color{blue} 2}
\left.
\begin{matrix}
v_1 + v_2 \in U \\
v_1 + v_2 \in W
\end{matrix}
\right\} \Rightarrow^{\color{blue} 1} v_1 + v_2 \in U \cap W \\
\\
\left.
\begin{matrix}
\alpha \in \mathbb K \\
v \in U \cap W
\end{matrix}
\right\} \Leftrightarrow
\left.
\begin{matrix}
v \in U \\
v \in W
\end{matrix}
\right\} \Rightarrow
\left.
\begin{matrix}
\alpha v \in U \\
\alpha v \in W
\end{matrix}
\right\} \Leftrightarrow
\alpha v \in U \cap W
\end{matrix} \\
\color{blue} 1 \mapsto \text{ Definición de intersección.} \\
\color{blue} 2 \mapsto U \text{ y } W \text{ son subespacios vectoriales.}\end{split}\]
Unión de subespacios¶
Con \(U, W\) subespacios de \(V\)
\[U \cup W = \left\{ v \in V \middle/ v \in U \vee v \in W \right\}\]
en general no es un subespacio de \(V\).
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
V = \mathbb R^2 \\
\\
U = \left\{ (x, 0) \middle/ x \in \mathbb R \right\} \\
\\
W = \left\{ (0, y) \middle/ y \in \mathbb R \right\} \\
\\
\left.
\begin{matrix}
(1, 0) \in U \subset U \cup W \\
(0, 1) \in W \subset U \cup W
\end{matrix}
\right\} \wedge (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \notin U \cup W
\end{matrix}\end{split}\]
Suma de subespacios¶
Con \(U, W\) subconjuntos de \(V\)
\[U + W := \left\{ u + w \middle/ u \in U \wedge w \in W \right\} \subset V\]
Se verifica que \(U + W\) es el menor subespacio de \(V\) que continene a \(U\) y a \(W\).
Además, si \(S\) y \(S'\) son subconjuntos no vacíos de \(V\) tales que \(U = \langle S \rangle\) y \(W = \langle S' \rangle\) entonces
\[U + W = \langle S \cup S' \rangle\]
Note
Para entender esta proposición es útil entender las propiedades descritas bajo el epígrafe Propiedades.
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
& 0 \in U \\
& 0 \in W \\
\\
& 0 = 0 + 0 \in U + W \Rightarrow U + W \neq \emptyset \\
(1) & \\
& \underbrace{
\left.
\begin{matrix}
u_1 + w_1 \quad u_1 \in U \quad w_1 \in W \\
u_2 + w_2 \quad u_2 \in U \quad w_2 \in W
\end{matrix}
\right\}
} \\
& \Downarrow \\
& \overbrace{
(u_1 + w_1) + (u_2 + w_2) =
\underset{ \in U }{ \underbrace{u_1 + u_2} } +
\underset{ \in W }{ \underbrace{w_1 + w_2} } \in U + W
} \\
(2) & \\
& \underbrace{
\left.
\begin{matrix}
u + w \quad u \in U \quad w \in W \\
\alpha \in \mathbb K
\end{matrix}
\right\}
} \\
& \Downarrow \\
& \overbrace{
\alpha (u + w) =
\underset{ \in U }{ \underbrace{ \alpha u } } +
\underset{ \in W }{ \underbrace{ \alpha w } } \in U + W
} \\
\\
& U \subset U + W \wedge W \subset U + W \\
& u \in U \quad u = \underset{ \in U }{ \underbrace{ u } } + \underset{ \in W }{ \underbrace{ 0 } } \in U + W \\
& w \in W \quad w = \underset{ \in U }{ \underbrace{ 0 } } + \underset{ \in W }{ \underbrace{ w } } \in U + W
\end{matrix}\end{split}\]
Además de ser subespacio, es el menor subespacio de \(V\) que contiene a \(U\) y \(W\). Es decir, si \(T\) fuese subespacio de \(V\) tal que \(U \subset T\) y \(W \subset T\), entonces \(U + W \subset T\).
Demostración
\[\begin{split}\left.
\begin{array}{r}
u + w \in U + W \\
u \in U \wedge w \in W
\end{array}
\middle|
\begin{array}{r}
u \in U \subset T \\
w \in W \subset T
\end{array}
\right\} \Rightarrow^{\color{blue} 1} u + w \in T \\
\\
\color{blue} 1 \mapsto T \text{ es subespacio.}\end{split}\]
Suma directa¶
Definición
Con \(U\) y \(W\) subespacios de \(V \; / \; V = U + W\) y \(U \cap W = \lbrace 0 \rbrace\)
Todo vector de \(V\) tiene una única representación de la forma \(u + w\) con \(u \in U\) y \(w \in W\).
En este caso se dice que es una suma directa y se representa como \(U \bigoplus W\)
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
V = U + W \\
\\
\underbrace{
\begin{array}{l}
\left.
\begin{array}{ll}
v \in V = U + W & \exists u \in U \\
& \exists w \in W
\end{array}
\middle/
v = u + w
\right\} \\
\left.
\begin{array}{ll}
\text{Si además} & \exists u' \in U \\
\hphantom{v \in V = U + W} & \exists w' \in W
\end{array}
\middle/
v = u' + w'
\right\}
\end{array}
} \\
\Downarrow \\
u + w = u' + w' \Leftrightarrow
-u' + u + w = w' \Leftrightarrow
\underbrace{ -u' + u }_{ u^{\color{blue} 1} } =
\underbrace{ w' - w }_{ w^{\color{blue} 2} }
\in \underbrace{ U \cap W }_{ \lbrace 0 \rbrace }
\end{matrix} \\
\color{blue} 1 \mapsto U \text{ es un subespacio} \\
\color{blue} 2 \mapsto W \text{ es un subespacio}\end{split}\]
Independencia lineal¶
Definición
Un subconjunto no vacío \(S\) de \(V\) es linealmente independiente si
\[\begin{split}\begin{matrix}
\underbrace{
\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n = 0
\quad \alpha_i \in \mathbb K, v_i \in S \quad \forall i = 1, \cdots, n
} \\
\Downarrow \\
\overbrace{
\alpha_i = 0 \quad \forall i = 1, \cdots, n
}
\end{matrix}\end{split}\]
En caso contrario se dirá que \(S\) es un subconjunto de \(V\) linealmente dependiente.
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
V = \mathbb R^4 \\
\\
S = \langle (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1) \rangle
\text{ es linealmente independiente ya que} \\
\\
x(1, 1, 1, 1) + y(0, 1, 1, 1) + z(0, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0) \\
\Updownarrow \\
(x, x + y, x + y + z, x + y + z) = (0, 0, 0, 0) \\
\Updownarrow \\
\left.
\begin{array}{r}
x = 0 \\
x + y = 0 \\
x + y + z = 0 \\
x + y + z = 0
\end{array}
\right\} \Rightarrow
\begin{array}{l}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 0
\end{array}
\end{matrix}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
V = \mathbb R^3 \\
\\
S = \langle (1, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 2) \rangle
\text{ es linealmente dependiente ya que} \\
\\
(1, 1, 1) + (0, 0, 1) - (1, 1, 2) = (0, 0, 0)
\end{matrix}\end{split}\]
Observaciones
Con \(V\) espacio vectorial
- \[\begin{split}\begin{matrix} S = \left\{ u \right\} \subset V \\ \\ S \text{ linealmente independiente } \Leftrightarrow u \neq 0 \end{matrix}\end{split}\]
Demostración
\[\alpha u = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0 \vee u = 0\] - \[0 \in S \subset V \Rightarrow S \text{ es linealmente dependiente.}\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{array}{r} 1 \cdot 0 = 0 \\ 0 \in S \\ 0 \neq 1 \in \mathbb K \end{array}\end{split}\] - \[\begin{split}\begin{matrix} S = \left\{ u, v \right\} \subset V \\ \\ S \text{ es linealmente dependiente} \\ \Updownarrow \\ \exists \alpha \in \mathbb K \; / \; u = \alpha v \vee \exists \beta \in \mathbb K \; / \; v = \beta u \end{matrix}\end{split}\]
Desmostración
\[\begin{split}\begin{matrix} S \text{ linealmente dependiente} \\ \Downarrow \\ \exists \alpha, \beta \in \mathbb K \; / \; (\alpha \neq 0 \vee \beta \neq 0) \wedge \alpha u + \beta v = 0 \\ \Downarrow \\ \text{Si } \alpha \neq 0 \quad u + \alpha^{-1} \beta v = 0 \Rightarrow u = -\alpha^{-1} \beta v \quad \text{ es decir, } \alpha \text{ es múltiplo de } \beta \end{matrix}\end{split}\] - \[\begin{split}\begin{matrix} \emptyset \neq S_1 \subset S_2 \subset V \\ \\ S_2 \text{ linealmente independiente} \Rightarrow S_1 \text{ linealmente independiente} \\ S_1 \text{ linealmente dependiente} \Rightarrow S_2 \text{ linealmente dependiente} \end{matrix}\end{split}\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix} \alpha_i v_i + \cdots + \alpha_n v_n = 0 \\ \\ \underbrace{ \left. \begin{array}{rr} \alpha_i \in \mathbb K & \forall i = 1, \cdots, n \\ v_i \in S_1 \subset S_2 \end{array} \right\} } \\ \hphantom{\; \xleftarrow[]{S_2 \text{ es linealmente independiente}}} \Downarrow \; \xleftarrow[]{S_2 \text{ es linealmente independiente}} \\ \alpha_i = 0 \quad \forall i = 1, \cdots, n \end{matrix}\end{split}\]
Proposición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial y \(\emptyset \neq S \subset V\) linealmente independiente
\[v \notin \langle S \rangle \Leftrightarrow S \cup \left\{ v \right\} \text{ linealmente independiente}\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{array}{lc}
"\Rightarrow" & \\
& \begin{array}{r}
\alpha v + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n = 0 \\
\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_n \in \mathbb K \\
v_1, \cdots, v_n \in S \\
v \in S \cup \left\{ v \right\}
\end{array} \\
\quad \text{Si } \alpha \neq 0 & \\
& v = -\alpha^{-1} \alpha_1 v_1 \cdots -\alpha^{-1} \alpha_n v_n \in \langle S \rangle
\; \left[ \text{Contradicción} \right] \\
\quad \text{Luego } \alpha = 0 & \\
& \underbrace{
\begin{array}{l}
\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n = 0 \Rightarrow
\alpha_i = 0 \quad \forall i = 1, \cdots, n \\
\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in \mathbb K \\
v_1, \cdots, v_n \in S
\end{array}
} \\
& \Downarrow \\
& S \cup \left\{ v \right\} \text{ linealmente independiente} \\
"\Leftarrow" & \\
& v \in \langle S \rangle \Rightarrow S \cup \left\{ v \right\} \text{ linealmente dependiente} \\
\\
& \begin{array}{r}
v \in \langle S \rangle \Rightarrow \exists v_i, \cdots, v_n \in S \\
\alpha_i, \cdots, \alpha_n \in \mathbb K
\end{array} \\
& v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n \\
& \Downarrow \\
& -v + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n = 0 \\
& \Downarrow \\
& S \cup \left\{ v \right\} \text{ linealmente dependiente}
\end{array}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
\lbrace (1, 1, 1), (0, 1, 1) \rbrace = S \subset \mathbb R^3
\quad v = (2, 5, 7) \\
\\
v \notin \langle S \rangle \text{ ya que} \\
\\
(2, 5, 7) = \alpha(1, 1, 1) + \beta(0, 1, 1) = (\alpha, \alpha + \beta, \alpha + \beta) \\
\Updownarrow \\
\underbrace{\overbrace{
\left.
\begin{array}{r}
\alpha = 2 \\
\alpha + \beta = 5 \\
\alpha + \beta = 7
\end{array}
\right\} \text{ Sistema Incompatible }
}} \\
\Downarrow \\
(2, 5, 7) \notin \langle S \rangle
\end{matrix}\end{split}\]
Base de un subespacio vectorial¶
Con \(V \neq \lbrace 0 \rbrace \; \mathbb K\)-espacio vectorial.
Definición
Un subconjunto ordenado \(B\) de \(V\) es una base si
- \(B\) es un conjunto de generadores de \(V\) —i.e. \(\langle B \rangle = V\).
- \(B\) es linealmente independiente.
Ejemplo
En \(\mathbb R^3\)
\[\begin{split}\begin{array}{l}
\mathcal C = \lbrace (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \rbrace \subset \mathbb R^3 \\
\text{es una base que llamamos base canónica.} \\
\\
B = \lbrace (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) \rbrace \subset \mathbb R^3 \\
\text{es otra base de } \mathbb R^3
\end{array}\end{split}\]
Ejemplo
En \(\mathbb R^4\)
\[\begin{split}\begin{matrix}
\mathcal C = \lbrace (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) \rbrace \\
\\
\mathcal C \text{ es la base canónica de } \mathbb R^4 \\
\\
(a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb R^4 \\
\\
\underbrace{ (0, 0, 0, 0) = a_1(1, 0, 0, 0) + a_2(0, 1, 0, 0) + a_3(0, 0, 1, 0) + a_4(0, 0, 0, 1) } \\
\Downarrow \\
a_i = 0 \quad \forall i = 1, 2, 3, 4
\end{matrix}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
\mathbb R[x] = \left\{
a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \middle/
\begin{array}{r}
n \in \mathbb N \\
a_i \in \mathbb R \\
i = 0, \cdots, n
\end{array}
\right\} \\
\\
B = \lbrace 1 = x^0, x, x^2, \cdots, x^n, \cdots \rbrace =
\left\{ x^i \middle/ i \geq 0 \right\}
\end{matrix}\end{split}\]
Note
Hay espacios vectoriales que tienen bases infinitas.
Proposición
Con \(\emptyset \neq B \subset V\), son equivalentes
- \(B\) base de \(V\).
- Cualquier vector de \(V\) se expresa como combinación lineal de elementos de \(B\) de modo único.
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
(1) \Rightarrow (2) & \\
& B \text{ base } \\
& \Downarrow \\
& \langle B \rangle = V \\
& \Updownarrow \\
& \text{Cada vector de } V
\text{ es combinación lineal de elementos de } B
\text{, es decir} \\
\\
& \underbrace{
\text{si }
\left.
v \in V
\middle/
\begin{array}{lr}
& v_i \in B \\
v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n &
\alpha_i \in \mathbb K \\
v = \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_n v_n &
\beta_i \in \mathbb K \\
& \forall i = 1, \cdots, n
\end{array}
\right.
} \\
& \Downarrow \\
& 0 = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n -
\beta_1 v_1 - \cdots - \beta_n v_n =
(\alpha_1 - \beta_1) v_1 + \cdots + (\alpha_n - \beta_n) v_n \\
& \Downarrow \\
& \begin{array}{r}
\alpha_i \beta_i = 0 \Leftrightarrow \alpha_i = \beta_i \\
\forall i = 1, \cdots, n
\end{array} \\
(2) \Rightarrow (1) & \\
& \text{Cada } v \in V \text{ es combinación lineal de elementos de } B \\
& \Updownarrow \\
& \langle B \rangle = V \; (B \text{ genera } V) \\
\\
& \left.
\begin{array}{r}
\text{Sea } \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n = 0 =
0v_1 + \cdots + 0v_n \\
\alpha_i \in \mathbb K \\
v_i \in B
\end{array}
\right\}
\overset{ \text{De modo único} }{ \Rightarrow }
\alpha_i = 0 \quad \forall i = 1, \cdots, n
\end{matrix}\end{split}\]
Definición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial y \(B = \lbrace v_1, \cdots, v_n \rbrace\) base de \(V\), si \(v \in V\) y \(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\), al elemento \((\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in \mathbb K^n\) se le llama coordenadas de \(v\) en la base \(B\).
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{array}{l}
V = \mathbb R^3 \\
\\
\mathcal C = \lbrace (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \rbrace
\text{ es base de } \mathbb R^3 \\
B = \lbrace (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) \rbrace
\text{ es base de } \mathbb R^3 \\
\\
v = (3, 5, 6) = 3(1, 1, 1) + 2(0, 1, 1) + (0, 0, 1) =
3(1, 0, 0) + 5(0, 1, 0) + 6(0, 0, 1) \\
v = (3, 2, 1)_B = (3, 5, 6)_{\mathcal C}
\end{array}\end{split}\]
Definición
Un espacio vectorial es finitamente generado cuando tiene un conjunto de generadores finito.
Proposición
\(V\) es un \(\mathbb K\)-espacio vectorial finitamente generado por \(S\), es decir
\[\exists S \text{ finito } \; / \; V = \langle S \rangle\]
Entonces, existe un subconjunto \(B\) de \(S\) que es base de \(V\).
Note
\[v \in \langle S \rangle \Leftrightarrow
\langle S \rangle = \langle S \setminus \lbrace v \rbrace \rangle\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{array}{l}
V \neq \lbrace 0 \rbrace \Rightarrow
\text{ número de elementos no nulos de } S \text{ es } \geq 1 \\
\\
\text{Con } \langle S \rangle = V \text{, }
\left\{
\begin{array}{l}
-\; S \text{ linealmente independiente } \Rightarrow B = S \\
-\; \underbrace{
S \text{ linealmente dependiente } \Rightarrow
\exists v \in S \; / \; v \in \langle S \setminus \lbrace v \rbrace \rangle
} \\
\hphantom{-\; S \text{ linealmente dependiente} } \Downarrow \\
\hphantom{-\; S \text{ linealmente depen} }
\langle S \rangle = \langle S \setminus \lbrace v \rbrace \rangle \\
\overbrace{
\left\{
\begin{array}{l}
-\; \langle S \setminus \lbrace v \rbrace \rangle \text{ linealmente independiente }
\wedge B = \langle S \setminus \lbrace v \rbrace \rangle \\
-\; \langle S \setminus \lbrace v \rbrace \rangle \text{ linealmente dependiente }
\text{y esto continuaría } \\
\hphantom{-\;} \text{recursivamente hasta que }
\langle S \setminus \lbrace v \rbrace \rangle
\text{ sea linealmente} \\
\hphantom{-\;} \text{independiente.}
\end{array}
\right.
}
\end{array}
\right.
\end{array}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
V = \langle
\underbrace{(1, 1, 1, 1)}_{v_1},
\underbrace{(2, 2, 1, 1)}_{v_2 = v_1 + v_3},
\underbrace{(1, 1, 0, 0)}_{v_3},
\underbrace{(0, 0, 1, 0)}_{v_4},
\underbrace{(1, 1, 1, 0)}_{v_5}
\rangle \\
\Downarrow \\
V = \langle
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0),
\underbrace{(1, 1, 1, 0)}_{v_5 = v_3 + v_4}
\rangle \\
\Downarrow \\
V = \langle
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)
\rangle \\
\\
B = \lbrace v_1, v_3, v_4 \rbrace \subset S = \lbrace v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 \rbrace
\end{matrix}\end{split}\]
Corolario
Todo conjunto de generadores contiene a una base.
Proposición
Sea \(V\) un \(\mathbb K\)-espacio vectorial y \(B = \lbrace v_1, \cdots, v_n \rbrace\) base de \(V\).
Cualquier subconjunto de \(V\) con más de \(n\) elementos es linealmente dependiente.
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
S = \lbrace u_1, \cdots, u_m \rbrace \subset V \quad m > n \\
u_j = a_{1j} v_1 + a_{2j} v_2 + \cdots + a_{nj} v_n \quad \forall j = 1, \cdots, m \\
\\
\text{Sea } 0 = \alpha_1 u_1 + \cdots + \alpha_m u_m \\
0 = \alpha_1 (a_{11} v_1 + \cdots + a_{n1} v_n) + \cdots +
\alpha_n (a_{1m} v_1 + \cdots + a_{nm} v_n) \\
0 = (\alpha_1 a_{11} + \cdots + \alpha_m a_{1m}) v_1 + \cdots +
(\alpha_1 a_{n1} + \cdots + \alpha_m a_{nm}) v_n \\
\Downarrow \; \xleftarrow[]{B \text{ es base}} \\
\overbrace{
\underbrace{
\left.
\begin{array}{r}
\alpha_1 a_{11} + \cdots + \alpha_m a_{1m} = v \\
\vdots \\
\alpha_1 a_{n1} + \cdots + \alpha_m a_{nm} = 0
\end{array}
\right\}
\begin{array}{l}
\text{ Es un sistema homogéneo con } m \\
\text{ incógnitas y } n \text{ ecuaciones con } m > n
\end{array}
}
} \\
\Downarrow \\
\text{Sistema Compatible Indeterminado} \\
\Downarrow \\
\text{Existen soluciones no triviales}
\end{matrix}\end{split}\]
Teorema
Si \(V\) es \(\mathbb K\)-espacio vectorial tal que \(V \neq \lbrace 0 \rbrace\) entonces \(V\) tiene una base.
Demostración
\[\begin{split}\begin{array}{l}
V \neq \lbrace 0 \rbrace \Rightarrow
\text{Cualquier conjunto de generadores de } V
\text{ tiene al menos un vector no nulo} \\
\\
\text{Con } \langle S \rangle = V
\left\{
\begin{array}{l}
-\; \text{Si } S \text{ es linealmente independiente }
\Rightarrow B = S \; (S \text{ es base de } V) \\
-\; \underbrace{
\text{Si } S \text{ es linealmente dependiente}
} \\
\hphantom{ -\; \text{Si } S \text{ es linealm} } \Downarrow \\
\hphantom{-\;} \exists v_1 \in S \text{ que es combinación lineal de los restantes,} \\
\hphantom{-\;} v_1 \in \langle S \setminus \lbrace v_1 \rbrace \rangle \text{ y} \\
\hphantom{-\;} V = \langle S \rangle = \langle S \setminus \lbrace v_1 \rbrace \rangle
\left\{
\begin{array}{l}
-\; S \setminus \lbrace v_1 \rbrace \text{ linealmente independiente }
\Rightarrow S \setminus \lbrace v_1 \rbrace \text{ base de } V \\
-\; S \setminus \lbrace v_1 \rbrace \text{ linealmente dependiente }
\Rightarrow \exists v_2 \in S \setminus \lbrace v_1 \rbrace
\text{ que es } \\
\hphantom{-\;} \text{combinación lineal de los restantes.} \\
\hphantom{-\;} \text{Y el proceso recursivo termina como muy tarde al quedar un elemento.}
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\end{array}\end{split}\]
Teorema
Sea \(V\) un \(\mathbb K\)-espacio vectorial con una base \(B = \lbrace v_1, \cdots, v_n \rbrace\) con \(n\) vectores.
Si \(B'\) es otra base de \(V\) entonces \(B'\) tiene también \(n\) vectores.
Demostración
Cualquier subconjunto de \(B'\) linealmente independiente tiene a lo sumo \(n\) vectores —\(B'\) es un conjunto finito.
\[\begin{split}\begin{array}{lr}
\text{Sea } B' = \lbrace u_1, \cdots, u_s \rbrace \\
& \left.
\begin{array}{r}
B = \lbrace v_1, \cdots, v_n \rbrace \text{ es base} \\
B' = \lbrace u_1, \cdots, u_s \rbrace \text{ es linealmente independiente}
\end{array}
\right\} \Rightarrow s \leq n \\
& \left.
\begin{array}{r}
B = \lbrace v_1, \cdots, v_n \rbrace \text{ es linealmente independiente} \\
B' = \lbrace u_1, \cdots, u_s \rbrace \text{ es base}
\end{array}
\right\} \Rightarrow s \geq n \\
\text{Luego } s = n
\end{array}\end{split}\]
Dimensión de un subespacio¶
Definición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial finitamente generado y \(V \neq \lbrace 0 \rbrace\)
Se define dimensión de \(V\) como el número de elementos de cualquier base de \(V\) y se denota por \(\dim_{\mathbb K} V = \dim V\).
Note
Por convenio, \(\dim \lbrace 0 \rbrace := 0\)
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{array}{l}
\lbrace (1, 0), (0, 1) \rbrace \text{ base de } \mathbb R^2 \\
\dim \mathbb R^2 = 2 \\
\dim \mathbb R^n = n
\end{array}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{array}{l}
\lbrace 1 \rbrace \text{ base de } \mathbb K \\
\dim \mathbb K = 1
\end{array}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{array}{l}
\mathcal M_{m \times n}(\mathbb K) =
\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix},
\cdots
\right\} \\
\\
E_{ij} = (e_{ks}) =
\left\{
\begin{array}{lll}
e_{ks} = 1 & \quad & \text{si } k = i \wedge s = j \\
e_{ks} = 0 & \quad & \text{en cualquier otro caso}
\end{array}
\right. \\
\\
\left\{
E_{ij}
\middle/
\begin{array}{l}
i = 1, \cdots, m \\
j = 1, \cdots, n
\end{array}
\right\} \subset \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K) \\
\\
\dim \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K) = mn
\end{array}\end{split}\]
Proposición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial y \(\dim V = n \neq 0\) se verifica
- Cualquier subconjunto de \(V\) linealmente independiente y con \(n\) vectores es una base de \(V\).
- Cualquier conjunto generador de \(V\) con \(n\) vectores es una base.
Demostración
- \[\begin{split}\begin{array}{l} \text{Sea } S = \lbrace u_1, \cdots, u_n \rbrace \text{ linealmente independiente} \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} -\; \langle S \rangle = V \Rightarrow S \text{ es base de } V \\ -\; \langle S \rangle \subsetneq V \Rightarrow \underbrace{ \exists v \in V \; / \; v \notin \langle S \rangle } \\ \hphantom{ -\; \langle S \rangle \subsetneq V \Rightarrow \exists v \in V } \Downarrow \\ \hphantom{-\;} S \cup \lbrace v \rbrace = \lbrace u_1, \cdots, u_n, v \rbrace \text{ es linealmente independiente,} \\ \hphantom{-\;} \text{lo cual es una contradicción, ya que } n + 1 > n \end{array} \right. \end{array}\end{split}\]
- \[\begin{split}\begin{matrix} S = \lbrace u_1, \cdots, u_n \rbrace \; / \; \langle S \rangle = V \\ \Downarrow \\ \exists B \subseteq S \; / \; B \text{ es base de } V \\ \Downarrow \\ B \text{ es una base con a lo sumo } n \text{ elementos y } \dim V = n \\ \Downarrow \\ B = S \end{matrix}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
U \subset \mathbb R^4 \\
\\
\dim U = 4 \\
\Downarrow \\
\exists B = \lbrace u_1, u_2, u_3, u_4 \rbrace \text{ base de } U \\
\Downarrow \\
B \subset \mathbb R^4 \text{ es linealmente independiente} \\
\hphantom{ B \subset \mathbb R^4 \text{ e} } \Downarrow \; \xleftarrow[]{\dim \mathbb R^4 = 4} \\
U = \mathbb R^4
\end{matrix}\end{split}\]
Proposición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial, \(\dim V \neq 0\) y \(B = \lbrace v_1, \cdots, v_n \rbrace\) base de \(V\)
Si \(S = \lbrace u_1, \cdots, u_s \rbrace\) es un subconjunto de \(V\) linealmente independiente, \(\exists v_{i_1}, \cdots, v_{i_{n - s}} \in B\) tales que \(S \cup \lbrace v_{i_1}, \cdots, v_{i_{n - s}} \rbrace\) es base de \(V\).
Demostración
\[\begin{split}\begin{array}{l}
S = \lbrace v_1, \cdots, v_s \rbrace \subset V \text{ linealmente independiente} \\
\hphantom{ S = \lbrace v_1, \cdots, v_s \rbrace \subset } \Downarrow \; \xleftarrow[]{\dim V = n} \\
\\
s \leq n
\left\{
\begin{array}{l}
\,-\; s = n \Rightarrow S \text{ es base de } V \\
\underbrace{
\begin{array}{l}
-\; \text{Si } s < n, \langle u_1, \cdots, u_s \rangle \subsetneq V =
\langle v_1, \cdots, v_n \rangle \text{ ya que si } \\
\hphantom{-\;}
\langle u_1, \cdots, u_s \rangle = \langle v_1, \cdots, v_n \rangle = V \text{, }
V \text{ tendría una base con } s \text{ elementos y } \\
\hphantom{-\;}
s < n \text{, lo cual es una contradicción.}
\end{array}
} \\
\hphantom{-\; s < n \text{ lo cual es una contradicción.} } \Downarrow \\
\hphantom{-\;} \exists v_{i_1} \in \lbrace v_1, \cdots, v_n \rbrace \; / \;
v_{i_1} \notin \langle u_1, \cdots, u_s \rangle \\
\hphantom{-\; s < n \text{ lo cual es una contradicción.} } \Downarrow \\
\hphantom{-\;} \lbrace u_1, \cdots, u_s, v_{i_1} \rbrace \text{ linealmente independiente} \\
\hphantom{-\;} \text{Repitiendo el proceso recursivamente } n - s \\
\hphantom{-\;} \text{veces se obtiene una base de } V
\end{array}
\right.
\end{array}\end{split}\]
Proposición
Con \(V \; \mathbb K\)-espacio vectorial de dimensión finita y \(U\) un subespacio de \(V\)
- \(\dim U \leq \dim V\)
- \(\dim U = \dim V \Leftrightarrow U = V\)
Demostración
Con \(\dim V = n\)
\[\begin{split}\begin{matrix}
(1) & \\
& \text{Todo subconjunto de } V \\
& \text{linealmente independiente tiene a lo sumo} \\
& n \text{ elementos} \\
& \Downarrow \\
& \text{Cualquier subconjunto de } U \\
& \text{linealmente independiente es un subconjunto de} \\
& V \text{ linealmente independiente y por tanto tiene a lo sumo} \\
& n \text{ elementos} \\
& \Downarrow \\
& \dim U \leq \dim V \\
(2) & \\
"\Leftarrow" \\
& \text{Trivial} \\
"\Rightarrow" \\
& \underbrace{
\left.
\begin{array}{l}
U \subset V \\
\dim U = \dim V = n
\end{array}
\right\}
\text{ Si } \lbrace u_1, \cdots, u_n \rbrace
\text{ es una base de } U
} \\
& \Downarrow \\
& \lbrace u_1, \cdots, u_n \rbrace \text{ es un subconjunto de } V
\text{ linealmente independiente con } n \text{ elementos} \\
& \hphantom{ \text{linealmen} } \Downarrow \; \xleftarrow[]{\dim V = n} \\
& \lbrace u_1, \cdots, u_n \rbrace \text{ base de } V \text{ y }
\langle u_1, \cdots, u_n \rangle = U = V
\end{matrix}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
\left.
\begin{array}{l}
U \subset \mathbb R^3 \\
\dim U = 3
\end{array}
\right\} \Rightarrow U = \mathbb R^3
\end{matrix}\end{split}\]
Fórmula de Grassman¶
Con \(U, W\) subespacios de \(V\) y \(\dim V = n\)
\[\dim U + \dim W = \dim (U \cap W) + \dim (U + W)\]
Demostración
\[\begin{split}\begin{matrix}
\dim U = s \leq n \text{ y sea } B_U =
\lbrace u_1, \cdots, u_s \rbrace \text{ base de } U \\
\dim W = t \leq n \text{ y sea } B_W =
\lbrace w_1, \cdots, w_t \rbrace \text{ base de } W \\
\\
\begin{array}{r}
U \cap W \subset U \Rightarrow \dim (U \cap W) = r \leq s \quad (1) \\
U \cap W \subset W \Rightarrow \dim (U \cap W) = r \leq t \quad (2) \\
B_{U \cap W} = \lbrace v_1, \cdots, v_r \rbrace \text{ base de } U \cap W \quad (3) \\
\\
(1) \wedge (3) \Rightarrow \exists u_{i_1} \cdots u_{i_{s - r}}
\in B_U \; / \; \lbrace v_1, \cdots, v_r, u_{i_1}, \cdots, u_{i_{s - r}} \rbrace
\text{ es base de } U \quad (4) \\
(2) \wedge (3) \Rightarrow \exists w_{j_1} \cdots w_{j_{t - r}}
\in B_W \; / \; \lbrace v_1, \cdots, v_r, w_{j_1}, \cdots, w_{j_{t - r}} \rbrace
\text{ es base de } W \quad (5) \\
\end{array} \\
\\
(4) \wedge (5) \Rightarrow U + W =
\langle v_1, \cdots, v_r, u_{i_1}, \cdots, u_{i_{s - r}}, w_{j_1}, \cdots, w_{j_{t - r}} \rangle \\
\text{y } \lbrace v_1, \cdots, v_r, u_{i_1}, \cdots, u_{i_{s - r}}, w_{j_1}, \cdots, w_{j_{t - r}} \rbrace
\text{ linealmente independiente } \color{red}{\text{(Falta probarlo)}} \\
\Downarrow \\
\dim (U + W) = s + t - r = \dim U + \dim W - \dim (U \cap W)
\end{matrix}\end{split}\]
Ejemplo
Con \(U, W \subset \mathbb R^4\) subespacios
\[\begin{split}\left.
\begin{array}{l}
\dim U = 3 \\
\dim W = 1 \\
\dim (U \cap W) = 0
\end{array}
\right\} \Rightarrow \dim (U + W) = 4 \Rightarrow U + W = \mathbb R^4\end{split}\]
Matrices, sistemas de ecuaciones lineales y subespacios¶
Definición
Con \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
Se define el rango por columnas de \(A\)
\[r_c(A) := \dim \langle C_1(A), \cdots, C_n(A) \rangle = \dim \mathcal C(A)\]
Definición
Con \(A, B \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
\(A\) es equivalente por columnas a \(B\) —\(A \sim_c B\)— si haciendo una sucesión finita de operaciones elementales en columnas se pasa de \(A\) a \(B\).
Teorema
\[r_c(A) = r_f(A)\]
Definición
Con \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
\[\operatorname{rango} A := \dim \mathcal F(A) = r_f(A) = r_c(A) =
\dim \mathcal C(A) = r(A)\]
Proposición
Si \(A\) y \(B\) son matrices \(m \times n\) sobre \(\mathbb K\) equivalentes por filas, las columnas de \(A\) y las columnas de \(B\) verifican las mismas relaciones de dependencia.
Demostración
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
A \sim_f B & \Rightarrow & \text{Los sistemas }
AX = 0 \text{ y } BX = 0 \text{ son equivalentes} \\
\\
(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \text{ solución de } AX = 0 &
\Leftrightarrow & (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \text{ solución de } BX = 0 \\
\Updownarrow \hphantom{ \text{ución de } AX = 0 } & &
\hphantom{ (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \text{ solu} } \Updownarrow \\
C_1(A) \alpha_1 + \cdots + C_n(A) \alpha_n = 0 & &
C_1(B) \alpha_1 + \cdots + C_n(B) \alpha_n = 0
\end{array}\end{split}\]
Corolario
\[\begin{split}\begin{matrix}
A \sim_f B \text{ escalonada reducida} \\
\Downarrow \\
r_c(A) = r_c(B) = r_f(B) = r_f(A) = \operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(B)
\end{matrix}\end{split}\]
Corolario
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
\[\begin{split}\begin{matrix}
A \text{ no singular } \Leftrightarrow & r(A) = n &
\Leftrightarrow \dim \mathcal F(A) = n \\
\Updownarrow & & \Updownarrow \\
|A| \neq 0 & &
\dim \mathcal C(A) = n
\end{matrix}\end{split}\]
Note
El rango de \(B \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) es el orden del mayor menor no nulo.
Proposición
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
\[A \text{ no singular } \Leftrightarrow r(A) = n\]
Demostración
\[|A| \neq 0 \Leftrightarrow A \text{ no singular }
\Leftrightarrow A \sim_f I_n \Leftrightarrow r(A) = n\]
Ecuaciones implícitas de un subespacio de \(\mathbb K^n\)¶
Observaciones
Con \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
\[\begin{split}\begin{array}{l}
\lbrace F_1(A), \cdots, F_m(A) \rbrace \subset \mathbb K^n \\
\\
\mathcal F(A) = \langle F_1(A), \cdots, F_m(A) \rangle
\underset{ \text{subespacio} }{ \subset } \mathbb K^n \\
\\
r_f(A) = s \Leftrightarrow A \sim_f B \wedge B
\text{ escalonada con } s \text{ pivotes } \\
\\
\mathcal F(A) = \langle F_1(A), \cdots, F_m(A) \rangle =
\langle F_1(B), \cdots, F_s(B) \rangle = \mathcal F(B) \\
\\
r_f(A) = s, \lbrace F_1(B), \cdots, F_s(B) \rbrace
\text{ es base de } \mathcal F(A) \\
\\
r_f(A) = s = \dim \mathcal F(A) \\
\\
\text{En particular,} \\
\left.
\begin{array}{r}
\text{Si } A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K) \\
r_f(A) = m
\end{array}
\right\} \Rightarrow \dim \mathcal F(A) = m
\Leftrightarrow \lbrace F_1(A), \cdots, F_m(A) \rbrace
\text{ es linealmente independiente}
\end{array}\end{split}\]
Ecuaciones de \(U\)¶
Con \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
\[\begin{split}\begin{matrix}
\text{Sea } U =
\langle
\underbrace{ (a_{11}, \cdots, a_{1n}) }_{F_1(A)},
\underbrace{ (a_{21}, \cdots, a_{2n}) }_{F_2(A)},
\cdots,
\underbrace{ (a_{m1}, \cdots, a_{mn}) }_{F_m(A)}
\rangle \underset{ \text{subespacio} }{ \subset } \mathbb K^n \\
\\
\lbrace F_1(A), \cdots, F_m(A) \rbrace \text{ es base de } U \\
\Downarrow \\
(x_1, \cdots, x_n) \in U \Leftrightarrow
\lbrace (x_1, \cdots, x_n), F_1(A), \cdots, F_m(A) \rbrace
\text{ linealmente dependiente} \\
\Updownarrow \\
r
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
x_1 & \cdots & x_n
\end{pmatrix} = m
\end{matrix}\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}\begin{matrix}
U = \langle (1, 1, 1, 1), (0, 1, 2, 3), (0, 0, 5, 7) \rangle
\subset \mathbb R^4 \\
\\
(x, y, z, t) \in U \Leftrightarrow r
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 5 & 7 \\
x & y & z & t
\end{pmatrix} = 3 \Leftrightarrow (1) \\
\\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 5 & 7 \\
x & y & z & t
\end{pmatrix} \xrightarrow[ F_4 - xF_1 ]{}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 5 & 7 \\
0 & y - x & z - x & t - x
\end{pmatrix} \rightarrow \cdots \\
\\
\cdots \xrightarrow[ F_4 - (y - x)F_2 ]{}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 5 & 7 \\
0 & 0 & z - 2y + x & t - 3y + 2x
\end{pmatrix} \xrightarrow[ F_4 - \frac{ z - 2y + x }{ 5 } F_3 ]{}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 5 & 7 \\
0 & 0 & 0 & t - 3y + 2x - \frac{7}{5}(z - 2y + x)
\end{pmatrix}
\\
\\
(1) \\
\Updownarrow \\
t - 3y + 2x - \frac{7}{5}(z - 2y + x) = 0 \\
\Updownarrow \\
t - 3y + 2x - \frac{7}{5}z + \frac{14}{5}y - \frac{7}{5}x = 0 \\
\Updownarrow \\
5t - 15y + 10x - 7z + 14y - 7x = 0 \\
\Updownarrow \\
3x - y - 7z + 5t = 0 \\
\Downarrow \\
U = \left\{ (x, y, z, t) \in \mathbb R^4 \middle/ 3x - y - 7z + 5t = 0 \right\}
\end{matrix}\end{split}\]