Tema 1¶
Cuerpo¶
Propiedades de las operaciones \(+\) y \(\cdot\) en \(\mathbb{R}\):
\(+\)
- Propiedad asociativa: \((a + b) + c = a + (b + c) \quad \forall a, b, c \in \mathbb{R}\)
- Elemento neutro: \(0 + a = a = a + 0 \quad \forall a \in \mathbb{R}\)
- Elemento simétrico —o inverso— de otro: \((-a) + a = 0 = a + (-a) \quad \forall a \in \mathbb{R}\)
- Propiedad conmutativa: \(a + b = b + a \quad \forall a, b \in \mathbb{R}\)
\(\cdot\)
- Propiedad asociativa: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \quad \forall a, b, c \in \mathbb{R}\)
- Elemento neutro: \(1 \cdot a = a = a \cdot 1 \quad \forall a \in \mathbb{R}\)
- Elemento simétrico —o inverso— de otro: \(1/a \cdot a = 1 = a \cdot 1/a \quad \forall a \in \mathbb{R} / a \neq 0\)
- Propiedad conmutativa: \(a \cdot b = b \cdot a \quad \forall a, b \in \mathbb{R}\)
Propiedad distributiva de \(\cdot\) respecto de \(+\): \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \quad \forall a, b, c \in \mathbb{R}\)
Definición
Un cuerpo \(\mathbb{K}\) es un conjunto \(\mathbb{K}\) con dos operaciones internas que denotamos por \(+\) y \(\cdot\) tales que verifican las propiedades anteriores.
Ejemplos de cuerpos: \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{Q}\)…
Es posible definir un cuerpo con dos elementos, \(\left \{0, 1\right \}\),
| \(+\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| \(\cdot\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Este cuerpo se llama \(\mathbb{Z}_2\).
Matriz¶
Definición
Una matriz \(A\) de orden \(m \times n\) con entradas en un cuerpo \(\mathbb{K}\) es una tabla de doble entrada con \(m \cdot n\) elementos en \(\mathbb{K}\) distribuidos en \(m\) filas y \(n\) columnas.
Al elemento de la matriz \(A\) que está en la fila \(i\) y en la columna \(j\) lo denotaremos por \(A(i, j)\) o por \(a_{ij}\).
Ejemplo
Conjuntos de matrices¶
El conjunto de matrices de orden \(m \times n\) con entradas en un cuerpo \(\mathbb{K}\) lo denotaremos por \(\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{K})\).
Igualdad de matrices¶
Dos matrices \(A\) y \(B\) de orden \(m \times n\) con entradas en el mismo cuerpo \(\mathbb{K}\) son iguales si
Casos particulares¶
Matriz fila¶
Matriz columna¶
Matrices cuadradas de orden \(n\)¶
Si \(m = n\)
Matriz diagonal de orden \(n\)¶
Ejemplo
Matriz identidad de orden \(n\)¶
Delta de Kronecker
La matriz identidad también se puede expresar con la función delta de Kronecker, \(\delta_{ij}\), definida como
Operaciones con matrices¶
Suma¶
Sean \(A, B \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
Se define la suma de \(A\) y \(B\) como una matriz de orden \(m \times n\) con entradas en \(\mathbb K\) que denotamos \(A + B\) tal que
Multiplicación por escalares¶
Sean \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) y \(\alpha \in \mathbb K\). Se define \(\alpha A\) como una matriz de orden \(m \times n\) con entradas en \(\mathbb K\) tal que
Propiedades¶
Con \(A, B, C \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) y \(\alpha, \beta \in \mathbb K\).
Propiedad asociativa de \(+\)
\[A + (B + C) = (A + B) + C\]Demostración
\[\begin{split}\big(A + (B + C)\big)(i, j) = a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij}) =^{\color{blue} 1} (a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij} = \big((A + B) + C\big)(i, j) \\ \color{blue} 1 \mapsto \text{ Por la propiedad asociativa de la suma en } \mathbb K\end{split}\]Elemento neutro para la suma
\[\begin{split}0(i, j) := 0^{\color{blue} 1} \\ \color{blue} 1 \mapsto \text{ Neutro de la suma en } \mathbb K\end{split}\]Simétrico
\[\begin{split}\exists A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K) \Rightarrow \exists -A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K) \\ -A(i, j) := -a_{ij} \\ -A \text{ es la simétrica de } A\end{split}\]Propiedad conmutativa
\(+\)
\[A + B = B + A\]Multiplicación por escalares
\[\alpha A = A \alpha\]
Distributiva de la multiplicación por escalares respecto de la suma de matrices
\[\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B\]Distributiva
\[(\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A\]Elemento neutro para la multiplicación
\[1A = A\]
Matriz traspuesta¶
Definición
Sea \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\).
Se define la traspuesta de \(A\) como una matriz de orden \(n \times m\) que se denota por \(A^t\) tal que
Ejemplo
Propiedades¶
Se verifica
\((A^t)^t = A\)
\((AB)^t = B^t A^t\)
Demostración
\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}\begin{matrix} (AB)^t (i, j) := (AB)(j, i) = \displaystyle\sum_{k = 1}^n a_{jk}b_{ki} =^{\color{blue} 1} \sum_{k = 1}^n B^t (i, k) A^t (k, j) = (B^t A^t)(i, j) & \forall i \\ & \forall j \end{matrix}\end{split}\\\color{blue} 1 \mapsto \text{ Por la propiedad conmutativa del producto en } \mathbb K\end{aligned}\end{align} \]
Definición
Con
Se verifica
Producto de matrices¶
Siendo \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) y \(B \in \mathcal M_{n \times s}(\mathbb K)\) se define
Propiedades¶
Sea \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
Asociativa
\[\begin{split}AB \Rightarrow B \in \mathcal M_{n \times s}(\mathbb K) \\ (AB)C \Rightarrow C \in \mathcal M_{s \times r}(\mathbb K) \\ \Big( (AB)C = A(BC) \Big) \in \mathcal M_{m \times r}(\mathbb K)\end{split}\]Elemento neutro
\[\begin{split}I_m A = A \\ AI_n = A\end{split}\]Y, en particular,
\[\begin{split}\text{Si } A \in \mathcal M_n(\mathbb K) \quad \exists I_n \in \mathcal M_n(\mathbb K) \\ \text{tal que} \\ AI_n = I_n A = A\end{split}\]Distributiva —por la izquierda y por la derecha
Con \(B' \in \mathcal M_{n \times s}(\mathbb K)\)
\[\begin{split}A(B + B') = AB + AB' \\ (B + B')C = BC + B'C\end{split}\]Con \(\alpha \in \mathbb K\)
\[\alpha (AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)\]
Note
El producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa.
Observación
Es decir, las filas de \(AB\) son combinación lineal de las filas de \(B\).
Ejemplo
Consecuencia
Con \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) y \(B \in \mathcal M_{n \times s}(\mathbb K)\)
Observación
Es decir, las columnas de \(AB\) son combinación lineal de las columnas de \(A\).
Ejemplo
Matriz no singular¶
Definición
Una matriz \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) es no singular —o inversible— si existe una matriz \(B = (b_{ij}) \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) tal que \(AB = I_n = BA\).
No todas las matrices cuadradas tienen inversa.
Propiedades¶
Con \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) no singular,
Si existe inverso es único.
Demostración
\[\begin{split}\left. \begin{matrix} A \text{ tiene inverso } \Leftrightarrow \exists B \in \mathcal M_n(\mathbb K) \quad / \quad AB = I_n = BA \\ \text{Si existiese } B' \in \mathcal M_n(\mathbb K) \quad / \quad AB' = I_n = B'A \end{matrix} \right\} \Rightarrow^{\color{red} ?} B = B' \\ \\ B = BI_n = B(AB') =^{\color{blue} 1} (BA)B' = I_n B' = B' \\ \color{blue} 1 \mapsto \text{Propiedad asociativa}\end{split}\]Con \(A, B \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) no singulares,
Se verifica que \(AB\) es no singular y \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\).
Demostración
\[\begin{split}\left. \begin{matrix} \exists A^{-1} \in \mathcal M_n(\mathbb K) \\ \exists B^{-1} \in \mathcal M_n(\mathbb K) \end{matrix} \right\} B^{-1} A^{-1} \in \mathcal M_n(\mathbb K) \\ \\ (B^{-1} A^{-1})(AB) =^{\color{blue} 1} B^{-1} (A^{-1} A) B = B^{-1} I_n B = B^{-1} B = I_n \\ \color{blue} 1 \mapsto \text{Propiedad asociativa}\end{split}\]
Matrices elementales¶
\(E \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) es una matriz elemental si es de uno de los siguientes tipos:
Si la matriz \(E\) se obtiene de \(I_n\) intercambiando dos filas: \(E_{i \leftrightarrow j}\)
Note
Estas matrices se llaman matrices de permutación.
Si la matriz \(E\) se obtiene de \(I_n\) multiplicando una fila por un escalar no nulo.
Con \(\alpha \in \mathbb K\) y \(\alpha \neq 0\)
\[\begin{split}E_{\alpha F_i} = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & \alpha & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{pmatrix}\end{split}\]Si la matriz \(E\) se obtiene de \(I_n\) sumándole a una fila un múltiplo de otra fila: \(E_{F_i + \alpha F_j}\) con \(i \neq j\)
Propiedades por filas¶
Con \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) se verifica:
- \(E_{F_i \leftrightarrow F_j} A\) es la matriz que se obtiene de \(A\) al intercambiar su fila \(i\)-ésima por su fila \(j\)-ésima.
- \(E_{\alpha F_i} A\) con \(\alpha \neq 0\) es la matriz que se obtiene de \(A\) multiplicando su fila \(i\)-ésima por el escalar \(\alpha\).
- \(E_{F_i + \alpha F_j} A\) con \(i \neq j\) es la matriz que se obtiene de \(A\) sumando a su fila \(i\)-ésima \(\alpha\) veces su fila \(j\)-ésima.
Propiedades por columnas¶
Con \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) se verifica:
- \(A E_{F_i \leftrightarrow F_j} = A E'_{C_i \leftrightarrow C_j}\) es la matriz que se obtiene de \(A\) al intercambiar su columna \(i\)-ésima por su columna \(j\)-ésima.
- \(A E_{\alpha F_i} = A E'_{\alpha C_i}\) con \(\alpha \neq 0\) es la matriz que se obtiene de \(A\) multiplicando su columna \(i\)-ésima por el escalar \(\alpha\).
- \(A E_{F_i + \alpha F_j} = A E'_{C_j + \alpha C_i}\) con \(i \neq j\) es la matriz que se obtiene de \(A\) sumando a su columna \(j\)-ésima \(\alpha\) veces su columna \(i\)-ésima.
Corolario
Las matrices elementales son no singulares y su inversa es de nuevo una matriz elemental.
Demostración
Escalonamiento de matrices¶
Definición
Una matriz \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) es escalonada por filas si
Si tiene filas de ceros están al final.
Definición
El primer elemento no nulo de cada fila no nula se llamará pivote.
El pivote de cada fila está situado más a la derecha —i.e. en una columna posterior— que los pivotes de las filas anteriores.
Definición
Una matriz \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) escalonada es escalonada reducida si todos los pivotes son \(1\) y además todos los otros elementos de la columna en donde hay pivote son \(0\).
Matrices equivalentes¶
Definición
Dos matrices \(A, B \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) son equivalentes por filas (\(A \sim_f B\)) si existen \(E_1, \cdots, E_s\) matrices elementales de orden \(m\) tal que \(A = E_s \cdots E_1 B\)
Propiedades¶
- Reflexiva:
- \[A \sim_f A\]
- Simétrica:
- \[A \sim_f B \Leftrightarrow B \sim_f A\]
- Transitiva:
- \[\begin{split}\left. \begin{matrix} A \sim_f B \\ A \sim_f C \end{matrix} \right\} \Rightarrow A \sim_f C\end{split}\]
Teorema
\(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
\(A\) es equivalente por filas con alguna matriz escalonada y con una única matriz escalonada reducida.
Proposición
Sean \(A, B \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) equivalentes por filas (\(A \sim_f B\)). Se verifica:
Demostración
Observación
Sea \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
Proposición
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) escalonada reducida
Demostración
Observación
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) se verifica
Proposición
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
Demostración
Escalonamiento de matrices por filas utilizando matrices elementales¶
Operaciones elementales permitidas para escalonar matrices:
| Matriz elemental | Operación elemental |
|---|---|
| \(E_{F_i \leftrightarrow F_j}\) | Intercambiar la fila \(i\) por la fila \(j\). |
| \(E_{\alpha F_i}\) con \(\alpha \in \mathbb K\) y \(\alpha \neq 0\) | Multiplicar la fila \(i\) por un escalar no nulo. |
| \(E_{F_i + \alpha F_j}\) con \(i \neq j\) y \(\alpha \in \mathbb K\) | Sumarle a una fila un múltiplo de otra. |
Cálculo de la inversa de una matriz¶
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) no singular
Es decir, existen \(t_1, \cdots, t_s\) transformaciones elementales en filas que aplicadas sucesivamente transforman \(A\) en una matriz escalonada reducida.
Ejemplo
O, lo que es lo mismo,
Por lo que, si \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) es no singular, para calcular su inversa basta con ampliar \(A\) con la identidad y transformar la parte de \(A\) hasta convertirla en la identidad —de este modo la parte que inicialmente era la identidad se habrá transformado en \(A^{-1}\), es decir
Rango por filas¶
Definición
Sea \(A \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\)
Se define el rango por filas de \(A\), \(r_f(A)\), como el número de pivotes de cualquier matriz escalonada equivalente por filas con \(A\).
Note
Toda matriz escalonada equivalente con \(A\) tiene el mismo número de pivotes.
Si \(B\) es escalonada entonces el número de pivotes de \(B\) es igual al número de pivotes de la única matriz escalonada reducida equivalente por filas con \(B\).
Con \(B\) escalonada,
Para pasar de \(B\) a la escalonada reducida:
- \(\frac{1}{b_{ij}} F_i\) —todos los pivotes pasan a ser \(1\).
- \(F_k - b_{kj} F_i \; \forall k < i\) —la cual es una operación que conserva el número de pivotes.
Ejemplo
Corolario
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
Determinantes¶
Con \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_2(\mathbb K)\) se define el determinante de \(A\) como
Definición
Sea \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
Si \(n = 1\) se define \(|A| := a_{11}\)
Si \(n > 1\)
\[|A| := a_{11} \alpha_{11} + \cdots + a_{n1} \alpha_{n1}\]siendo
\[\alpha_{i1} := (-1)^{i + 1} |A_{i1}| \quad \text{adjunto del elemento } a_{i1}\]y
\[A_{ij} := \text{ matriz obtenida de } A \text{ eliminando la fila } i \text{ y la columna } j\]Lo que se conoce como el desarrollo de Laplace por la 1ª columna.
Desarrollo de Laplace por la fila \(i\)-ésima¶
Se verifica que
Determinante de una matriz triangular superior¶
Definición
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) triangular superior se verifica
Demostración
Por inducción en \(n\)
Si \(n = 1\)
\[|A| = a_{11}\]Si \(n > 1\) la fórmula es cierta para \(n - 1\).
Caso general:
\[\begin{split}A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & a_{22} & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}\end{split}\]Por lo que tenemos que el desarrollo de Laplace por la 1ª columna es
\[|A| = a_{11}(-1)^{1 + 1} |A_{11}| = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\]Con
\[A_{11} \in \mathcal M_{n - 1}(\mathbb K)\]
Corolario
Propiedades de los determinantes¶
- \[\begin{split}\left. \begin{matrix} A, A', A'' \in \mathcal M_n(\mathbb K) \\ \exists i \; / \; F_i(A) = F_i(A') + F_i(A'') \\ F_j(A) = F_j(A') = F_j(A'') \; \forall j \neq i \end{matrix} \right\} \Rightarrow |A| = |A'| + |A''|\end{split}\]
Ejemplo
\[\begin{split}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \quad A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 5 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \quad A'' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\end{split}\] - \[A \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{ tiene dos filas iguales } \Rightarrow |A| = 0\]
Si se intercambian dos filas de \(A\) el determinante cambia de signo.
Si multiplicamos una fila de \(A\) por un escalar \(\beta \in \mathbb K\), el determinante de la nueva matriz es
\[\beta |A|\]Luego,
\[A \text{ tiene una fila de } 0 \Rightarrow |A| = 0\]Si a la fila \(i\)-ésima de \(A\) le sumamos \(\alpha\) veces la fila \(j\)-ésima —con \(i \neq j\)—, entonces el valor del determinante no varía.
Demostración de la propiedad 3 utilizando las propiedades 1 y 2
Determinantes y matrices equivalentes¶
Con \(A, E \in \mathcal M_n(\mathbb K) \; / \; E \text{ elemental}\)
Observaciones
- \[\begin{split}\begin{matrix} \underbrace{ A \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{ no singular } \Leftrightarrow A \sim_f I_n \Leftrightarrow I_n \sim_f A \Leftrightarrow \exists E_1, \cdots, E_r \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{ elementales } \; / \; E_r \cdots E_1 I_n = A } \\ \Downarrow \\ |A| = |E_r \cdots E_1| = |E_r| |E_{r - 1} \cdots E_1| = |E_r| |E_{r - 1}| \cdots |E_1| \neq 0 \end{matrix}\end{split}\]
- \[\begin{split}\begin{matrix} \underbrace{ A \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{ singular } \Leftrightarrow A \sim_f A' \Leftrightarrow A' \sim_f A } \\ \Updownarrow \\ \exists E_1, \cdots, E_s \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{ elementales } \; / \; A = E_s \cdots E_1 A' \\ \Downarrow \\ |A| = |E_s \cdots E_1 A'| = |E_s| |E_{s - 1} A'| = |E_s| \cdots |E_2| |E_1 A'| = |E_s| \cdots |E_1| |A'| =^{\color{blue} 1} 0 \\ \end{matrix} \begin{matrix} A' \text{ escalonada reducida} \\ \text{Número de pivotes de } A' < n \\ (A' \text{ tiene alguna fila de ceros}) \end{matrix} \\ \color{blue} 1 \mapsto |A'| = 0\end{split}\]
Proposición
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
Teorema
Con \(A, B \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
Demostración
Determinantes y matrices traspuestas¶
Observación
\((E_{F_i \leftrightarrow F_j})^t = E_{C_i \leftrightarrow C_j} = E_{F_i \leftrightarrow F_j}\)
Con \(\alpha \neq 0\), \((E_{\alpha F_i})^t = E_{\alpha C_i} = E_{\alpha F_i}\)
Con \(i \neq j\), \((E_{F_i + \alpha F_j})^t = E_{C_i + \alpha C_j} = E_{F_j + \alpha F_i}\)
Note
En este último caso la matriz elemental traspuesta no coincide con la original, aunque siguen teniendo el mismo determinante.
Con \(A \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
Demostración
Corolario
Con \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)
(Desarrollo de Laplace por la 1ª fila)
Demostración
Proposición
Por lo que las propiedades de los determinantes enunciadas en Propiedades de los determinantes son aplicables también por columnas.
Proposición
Con \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(\mathbb K)\) no singular
Demostración
Con \(B := \frac{1}{|A|} \text{ adj}(A)^t\)
Proposición
El desarrollo del determinante usando la regla de Laplace se puede hacer por cualquier fila o columna.
Demostración
Con \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(\mathbb K)\)